На этом уроке мы продолжим решение рациональных неравенств повышенной сложности с помощью метода интервалов. В примерах будут использованы более сложные комбинированные функции и будут рассмотрены типовые ошибки, возникающие при решении подобных неравенств.
Тема: Рацион альные неравенства и их системы
Урок: Решение рациональных неравенств пов ышенной сложности
1. Тема урока, введение
Мы решали рациональные неравенства вида и для их решения использовали метод интервалов. Функция была либо линейная, либо дробно-линейная, либо многочлен.
2. Решение задач
Рассмотрим неравенства другого типа.
1. Решить неравенство
Преобразуем неравенство с помощью эквивалентных преобразований.
Теперь можно исследовать функцию 
Рассмотрим функцию нет корней.
Схематически изобразим и прочитаем график функции (Рис. 1).
Функция положительна при любом .
Т. к. мы установили, что 
можем поделить обе части неравенства на это выражение.
Чтобы дробь была положительной, при положительном числителе должен быть положительный знаменатель. 
Рассмотрим функцию .
Схематически изобразим график функции - параболу, значит ветви направлены вниз (Рис. 2).
2. Решить неравенство
Рассмотрим функцию 
1. Область определения
2. Нули функции
3. Выделяем интервалы знакопостоянства.
4. Расставляем знаки (Рис. 3).
Если скобка находится в нечетной степени, при переходе через корень функция меняет знак. Если скобка находится в четной степени, функция не меняет знак.
Мы допустили типовую ошибку - не включили в ответ корень . В данном случае равенство нулю допускается, т. к. неравенство нестрогое.
Чтобы не допускать таких ошибок, необходимо помнить, что
Ответ: 
Мы рассмотрели метод интервалов для сложных неравенств и возможные типовые ошибки, а также пути их устранения.
Рассмотрим еще один пример.
3. Решить неравенство
Разложим на множители каждую скобку в отдельности.
, потому можно не учитывать этот множитель.
Теперь можно применить метод интервалов.
Рассмотрим 
Сокращать числитель и знаменатель на мы не будем, это ошибка.
1. Область определения
2. Нули функции нам уже известны
Не является нулем функции, т. к. не входит в область определения - в этом случае знаменатель равен нулю.
3. Определяем интервалы знакопостоянства.
4. Расставляем знаки на интервалах и выбираем промежутки, удовлетворяющие нашим условиям (Рис. 4).
3. Заключение
Мы рассмотрели неравенства повышенной сложности, но метод интервалов дает нам ключ к их решению, поэтому мы будем использовать его и в дальнейшем.
1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. - 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. - 7-е изд., испр. и доп. - М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 12-е изд., стер. - М.: 2010. - 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. - 12-е изд., испр. - М.: 2010.-223 с.: ил.
1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. - 4-е изд. - М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. №№ 37; 45(а, в); 47(б, г); 49.
1. Портал Естественных Наук.
2. Портал Естественных Наук.
3. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку.
4. Виртуальный репетитор.
5. Центр образования "Технология обучения" .
6. Раздел College. ru по математике.
Введение... .................................................................. 3
1. Классификация ошибок с примерами................................. ....... ...5
1.1. Классификация по типам задач...... ........................... ... ..........5
1.2. Классификация по типам преобразований....................................10
2. Тесты.............................. ............................ ..........................12
3. Протоколы решений.................. ............................. ............ 18
3.1. Протоколы неверных решений.................................... ... 18
3.2. Ответы (протоколы верных решений)........................................34
3.3. Ошибки, допущенные в решениях.......................................... 51
Приложение............................................................................... 53
Литература..................................................................................56
ВВЕДЕНИЕ
"На ошибках учатся", - гласит народная мудрость. Но для того, чтобы извлечь урок из негативного опыта, в первую очередь, необходимо увидеть ошибку. К сожалению, школьник зачастую не способен ее обнаружить при решении той или иной задачи. Вследствие чего возникла идея провести исследование, цель которого - выявить типичные ошибки, совершаемые учащимися, а также как можно более полно классифицировать их.
В рамках этого исследования был рассмотрен и прорешен большой набор задач из вариантов апрельского тестирования, тестов и письменных заданий вступительных экзаменов в ОмГУ, различных пособий и сборников задач для поступающих в вузы, внимательно изучены материалы заочной школы при НОФ ОмГУ. Полученные данные подверглись подробному анализу, при этом большое внимание было уделено логике решений. На основе этих данных были выделены наиболее часто допускаемые ошибки, то есть типичные.
По результатам этого анализа была сделана попытка систематизировать характерные ошибки и классифицировать их по типам преобразований и типам задач, среди которых были рассмотрены следующие: квадратные неравенства, системы неравенств, дробно-рациональные уравнения, уравнения с модулем, иррациональные уравнения, системы уравнений, задачи на движение, задачи на работу и производительность труда, тригонометрические уравнения, системы тригонометрических уравнений, планиметрия.
Классификация сопровождается иллюстрацией в форме неверных протоколов решений, что дает возможность помочь школьникам развить умение проверять и контролировать себя, критически оценивать свою деятельность, находить ошибки и пути их устранения.
Следующим этапом стала работа с тестами. Для каждой задачи были предложены пять вариантов ответов, из которых один верный, а остальные четыре неверные, но взяты не случайным образом, а соответствуют решению, в котором допущена конкретная стандартная для задач данного типа ошибка. Это дает основание для прогнозирования степени "грубости" ошибки и развития основных мыслительных операций (анализ, синтез, сравнение, обобщение). Тесты имеют следующую структуру:
Коды ошибок делятся на три вида: ОК - верный ответ, цифровой код - ошибка из классификации по типам задач, буквенный код - ошибка из классификации по типам преобразований. Их расшифровку можно посмотреть в главе 1. Классификация ошибок с примерами.
Далее были предложены задания найти ошибку в решении. Эти материалы были использованы при работе со слушателями заочной школы при НОФ ОмГУ, а также на курсах повышения квалификации учителей г.Омска и Омской области, проводимых НОФ ОмГУ.
В перспективе на основе проделанной работы можно создать систему контроля и оценки уровня знаний и умений тестируемого. Появляется возможность выявить проблемные области в работе, зафиксировать удачные методы и приемы, проанализировать, какое содержание обучения целесообразно расширить. Но для наибольшей эффективности этих методов необходима заинтересованность учащегося. С этой целью мной совместно с Чубрик А.В. и был разработан небольшой программный продукт, генерирующий неверные решения линейных и квадратных уравнений (теоретическая база и алгоритмы - я и Чуубрик А.В., помощь в реализации - студент гр. МП-803 Филимонов М.В.). Работа с данной программой дает школьнику возможность выступить в роли учителя, учеником которого является компьютер.
Полученные результаты могут послужить началом более серьезного исследования, которое в ближайшей и отдаленной перспективе сможет внести необходимые корректировки в систему обучения математике.
1. КЛАССИФИКАЦИЯ ОШИБОК С ПРИМЕРАМИ
1.1. Классификация по типам задач
1. Алгебраические уравнения и неравенства.
1.1. Квадратные неравенства. Системы неравенств:
1.1.1. Неправильно найдены корни квадратного трехчлена: неверно использована теорема Виета и формула для нахождения корней;
1.1.2. Неправильно изображен график квадратного трехчлена;
1.1.3. Неправильно определены значения аргумента, при которых неравенство выполняется;
1.1.4. Деление на выражение, содержащее неизвестную величину;
1.1.5. В системах неравенств неправильно взято пересечение решений всех неравенств;
1.1.6. Неправильно включены или не включены концы интервалов в окончательный ответ;
1.1.7. Округление.
1.2. Дробно-рациональные уравнения:
1.2.1. Неправильно указано или не указано ОДЗ: не учтено, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю;
ОДЗ: .
1.2.2. При получении ответа не учитывается ОДЗ;
Разделы: Математика
Класс: 9
Обязательным результатом обучения является умение решить неравенство вида:
ax 2 + bx+ c > <0
с опорой на схематический график квадратичной функции.
Чаще всего ученики допускают ошибки при решении квадратных неравенств с отрицательным первым коэффициентом. В учебнике предлагается в таких случаях заменять неравенство равносильным ему с положительным коэффициентом при x 2 (пример №3).Важно, что учащиеся поняли, что об исходном неравенстве нужно "забыть", для решения изображать параболу надо с ветвями, направленными вверх. Можно рассуждать иначе.
Допустим необходимо решить неравенство:
-x 2 + 2x -5<0
Сначала выясним, пересекает ли график функции y=-x 2 +2x-5 ось ОХ. Для этого решим уравнение:
Уравнение корней не имеет, следовательно, график функции y=-x 2 +2x-5 целиком расположен ниже оси Х и неравенство -x 2 +2x-5<0 выполняется при любых значения Х. Необходимо показать учащимся оба способа решения и разрешить пользоваться любым из них.
Умение решать отрабатывается на №111 и №119.Обязательно надо рассмотреть такие неравенства x 2 +5>0, -x 2 -3≤0; 3x 2 >0 и.т.д.
Конечно при решении таких неравенств можно использовать параболу. Однако сильные учащиеся должны давать ответы сразу, не прибегая к рисунку. При этом обязательно надо требовать пояснений, например:x 2 ≥0 и x 2 +7>0 при любых значениях x. В зависимости от уровня подготовки класса можно ограничиться этими номерами или использовать №120 №121.В них необходимо выполнить несложные тождественные преобразования, поэтому здесь пройдет повторение пройденного материала. Эти номера рассчитаны на сильных учащихся. Если достигнут хороший результат и решение квадратных неравенств не вызывает никаких проблем, то можно предложить учащимся решить систему неравенств в которой одно или оба неравенства являются квадратными (упражнение 193, 194).
Интересно не только решение квадратных неравенств, а и то, где еще можно применить это решение:для нахождения области определения функции исследования квадратного уравнения с параметрами (упражнение 122-124).Для наиболее продвинутых учащихся можно рассмотреть квадратные неравенства с параметрами вида:
Ax 2 +Bx+C>0 (≥0)
Ax 2 +Bx+C<0 (≤0)
Где A,B,C,-выражения зависящие от параметров, A≠0,x- неизвестные.
Неравенство Ax 2 +Bx+C>0
Исследуется по следующим схемам:
1)Если A=0, то имеем линейное неравенство Bx+C>0
2)Если A≠0 и дискриминант D>0,то, мы можем квадратный трехчлен разложить на множители и получить неравенство
A(x-x1) (x-x2)>0
x 1 и x 2 - корни уравнения Ax 2 +Bx+C=0
3)Если A≠0 и D<0 то если A>0 решением будет множество действительных чисел R; при A<0 решений нет.
Аналогично можно исследовать остальные неравенства.
Можно использовать при решении квадратных неравенств следственно свойство квадратного трехчлена
1)Если A>0 и D<0 то Ax2+Bx+C>0- при всех x.
2)Если A<0 и D<0 то Ax2+Bx+C<0 при всех x.
При решении квадратного неравенства удобнее использовать схематическое изображение графика функции y=Ax2+Bx+C
Пример: Для всех значений параметров решить неравенство
X 2 +2(b+1)x+b 2 >0
D=4(b+1) 2 -4b 2 =4b 2 +8b+4-4b 2
1) D<0 т.е. 2b+1<0
Коэффициент перед x 2 равен 1>0 то неравенство выполняется для всех x, т.е. Х є R
2) D=0 => 2b+1=0
Тогда x 2 +x+¼>0
x є(-∞;-½) U (-½;∞)
3) D>0 =>2b+1>0
Корни квадратного трехчлена имеют вид:
X 1 =-b-1-√2b+1
X 2 =-b-1+√2b+1
Неравенство принимает вид
(x-x 1) (x-x 2)>0
Используя метод интервалов получим
x є(-∞;x 1) U (x 2 ;∞)
Для самостоятельного решения дать следующее неравенство
В результате решения неравенств ученик должен понимать, что для решения неравенств второй степени предлагается отказаться от излишней детализации способа построения графика, от нахождения координат вершин параболы, соблюдения масштаба, можно ограничиться изображением эскиза графика квадратичной функции.
В старшем звене решение квадратных неравенств практически не является самостоятельной задачей, а выступает в качестве составляющей решения другого уравнения или неравенства (логарифмического, показательного, тригонометрического). Поэтому нужно научить учащихся беглому решению квадратных неравенств. Можно обратиться трем теоремам, заимствованным из учебника А.А. Киселева.
Теорема 1. Пусть дан квадратный трехчлен ax 2 +bx+c,где a>0, имеющий 2 различных действительных корня (D>0).
Тогда:1)При всех значениях переменной x,меньших меньшего корня и больших большего корня, квадратный трехчлен положителен
2) При значениях x между корнями квадратными трехчлен отрицателен.
Теорема 2. Пусть дан квадратный трехчлен ax 2 +bx+c, где a>0 имеющий 2 одинаковых действительных корня (D=0).Тогда при всех значениях x отличных от корней квадратного трехчлена, квадратный трехчлен положителен.
Теорема3. Пусть дан квадратный трехчлен ax 2 +bx+c где a>0 не имеющий действительных корней (D<0).Тогда при всех значениях x квадратный трехчлен положителен. Доказательство этих теорем приводить не надо.
Например: следует решить неравенство:
D=1+288=289>0
Решением является
X≤-4/3 и x≥3/2
Ответ (-∞; -4/3] U 7. (-∞; 2) U (3; ∞) 7. [-4; 0] 8. [-2; 1] 8. Ø 9. [-2; 0] 9. (-∞; -4) U (-4; ∞)
МатематикаКвадратные уравнения: дискриминант, формула корней и теорема Виета
МатематикаФормулы площадей фигур: треугольник, трапеция, ромб, круг и другие
МатематикаЗадачи на проценты: процент от числа, число по проценту и сложные проценты