Квадратные уравнения: дискриминант, формула корней и теорема Виета

Что такое квадратное уравнение

Квадратным называют уравнение ax² + bx + c = 0, где x - переменная, a, b, c - числа, причем a ≠ 0. Коэффициенты имеют названия: a - первый (старший) коэффициент, b - второй, c - свободный член. Если a = 1, уравнение называют приведенным: x² + px + q = 0.

Прежде чем решать, уравнение приводят к стандартному виду: переносят все слагаемые в одну часть, раскрывают скобки и приводят подобные. Например, (x - 3)(x + 1) = 5 после преобразований дает x² - 2x - 8 = 0, и только теперь видно, что a = 1, b = -2, c = -8.

Дискриминант и формула корней

Дискриминант (от латинского discriminare - "различать") вычисляют по формуле D = b² - 4ac. Он определяет число корней.

Пример 1. Два корня

Решите 2x² - 7x + 3 = 0. Здесь a = 2, b = -7, c = 3. D = 49 - 24 = 25, √D = 5. x₁ = (7 + 5) / 4 = 3, x₂ = (7 - 5) / 4 = 0,5.

Ответ: 0,5; 3.

Пример 2. Один корень

Решите x² - 6x + 9 = 0. D = 36 - 36 = 0, x = 6 / 2 = 3. Левую часть можно свернуть: (x - 3)² = 0.

Ответ: 3.

Пример 3. Нет корней

Решите x² + 2x + 5 = 0. D = 4 - 20 = -16 < 0, действительных корней нет.

Ответ: корней нет.

Формула для четного второго коэффициента

Если b - четное число, удобно взять k = b/2 и считать "четверть дискриминанта" D₁ = k² - ac. Тогда x = (-k ± √D₁) / a. Числа получаются меньше, и меньше вероятность ошибиться.

Пример. 3x² - 14x + 8 = 0. k = -7, D₁ = 49 - 24 = 25. x = (7 ± 5) / 3, то есть x₁ = 4, x₂ = 2/3.

Теорема Виета

Для приведенного уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна -p, а произведение равно q:

• x₁ + x₂ = -p;
• x₁ × x₂ = q.

Для общего уравнения: x₁ + x₂ = -b/a, x₁ × x₂ = c/a.

Теорема удобна, когда корни целые: их можно угадать. Решите x² - 5x + 6 = 0: ищем два числа с суммой 5 и произведением 6, это 2 и 3. Обратная теорема позволяет проверить корни, найденные через дискриминант, и составить уравнение по известным корням: если корни -1 и 4, уравнение x² - 3x - 4 = 0.

Подсказки для подбора корней

• Если q > 0, корни одного знака; знак совпадает со знаком -p.
• Если q < 0, корни разных знаков.
• Если a + b + c = 0, то один корень равен 1, а второй c/a. Например, 5x² - 8x + 3 = 0: 5 - 8 + 3 = 0, корни 1 и 0,6.
• Если a - b + c = 0, то один корень равен -1, второй -c/a.

Неполные квадратные уравнения

Если b или c равны нулю, уравнение называют неполным. Дискриминант для них не нужен.

Частая ошибка в уравнении x² - 7x = 0 - разделить обе части на x и потерять корень 0. Делить на выражение с переменной нельзя, нужно выносить общий множитель.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Если x₁ и x₂ - корни трехчлена ax² + bx + c, то ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂). Это нужно для сокращения дробей и решения неравенств.

Пример. Сократите дробь (x² - 5x + 6) / (x - 2). Корни числителя 2 и 3, значит x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3), и дробь равна x - 3 при x ≠ 2.

Графический смысл

Корни квадратного уравнения - это абсциссы точек пересечения параболы y = ax² + bx + c с осью x. При D > 0 парабола пересекает ось в двух точках, при D = 0 касается ее вершиной, при D < 0 не пересекает. Вершина параболы находится в точке x₀ = -b / (2a), это середина между корнями. Знание графика помогает решать квадратные неравенства: например, x² - 5x + 6 < 0 выполняется между корнями, на интервале (2; 3). Ошибки, которые возникают при решении таких неравенств, разобраны в статье о типичных ошибках в квадратных неравенствах.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Многие уравнения после замены становятся квадратными.

• Биквадратные: x⁴ - 5x² + 4 = 0. Замена t = x² дает t² - 5t + 4 = 0, t = 1 или 4, откуда x = ±1, ±2.
• Дробно-рациональные: после умножения на общий знаменатель получаем квадратное уравнение, но корни обязательно проверяем: знаменатель не должен обращаться в ноль.
• Иррациональные: √(x + 6) = x. Возводим в квадрат: x + 6 = x², корни 3 и -2. Проверка показывает, что -2 посторонний корень, ведь правая часть не может быть отрицательной.

Для уравнений третьей степени есть формулы Кардано, они гораздо сложнее и в школе почти не используются; о них можно прочитать в материале о решении уравнений третьей степени.

Уравнения с параметром

В задачах с параметром нужно найти, при каких значениях параметра уравнение имеет заданное число корней. Главный инструмент - тот же дискриминант.

Пример. При каких m уравнение x² + mx + 9 = 0 имеет один корень? Условие D = 0: m² - 36 = 0, m = ±6.

Важно помнить: если старший коэффициент тоже зависит от параметра, нужно отдельно рассмотреть случай, когда он равен нулю, - тогда уравнение становится линейным. Более сложные примеры собраны в статье о квадратных уравнениях с параметрами.

Текстовые задачи, которые сводятся к квадратным уравнениям

В ОГЭ квадратные уравнения часто появляются внутри текстовых задач на движение, работу и геометрию. Схема решения всегда одна: обозначить неизвестное, составить уравнение по условию, решить его и отобрать корни, которые имеют смысл.

Задача 1. Площадь прямоугольника

Длина прямоугольника на 3 см больше ширины, площадь 40 см². Найдите стороны.

Пусть ширина x, тогда длина x + 3. Уравнение x(x + 3) = 40, то есть x² + 3x - 40 = 0. По Виету корни 5 и -8. Отрицательная ширина не имеет смысла, поэтому x = 5. Стороны 5 см и 8 см.

Задача 2. Движение по реке

Лодка прошла 12 км по течению и 12 км против течения за 5 часов. Скорость течения 1 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Пусть скорость лодки v. Время по течению 12 / (v + 1), против течения 12 / (v - 1). Уравнение 12 / (v + 1) + 12 / (v - 1) = 5. Умножив на (v² - 1), получим 12(v - 1) + 12(v + 1) = 5(v² - 1), то есть 5v² - 24v - 5 = 0. D = 576 + 100 = 676, √D = 26. v = (24 + 26) / 10 = 5 или v = -0,2. Подходит v = 5 км/ч.

Задача 3. Совместная работа

Две трубы, работая вместе, наполняют бассейн за 6 часов. Первая труба одна наполняет его на 5 часов быстрее второй. За сколько часов наполняет бассейн первая труба?

Пусть первая труба наполняет бассейн за x часов, вторая за x + 5. Производительности 1/x и 1/(x + 5), их сумма 1/6. Уравнение 1/x + 1/(x + 5) = 1/6 приводится к x² - 7x - 30 = 0. Корни 10 и -3, подходит x = 10 часов.

Во всех трех задачах один из корней отбрасывается по смыслу. Записывать это нужно явно: "x = -8 не подходит, так как длина не может быть отрицательной". За отсутствие такого пояснения на экзамене могут снизить балл.

Типичные ошибки

1. Неверно определяют знаки коэффициентов. В уравнении x² - 3x - 10 = 0 коэффициент b = -3, а не 3.
2. Ошибаются в b² при отрицательном b: (-7)² = 49, а не -49.
3. Забывают делить на 2a, а делят только на 2.
4. Не приводят уравнение к стандартному виду и берут коэффициенты из исходной записи.
5. Теряют корень x = 0, деля уравнение на x.
6. Не проверяют корни в дробных и иррациональных уравнениях.

Алгоритм решения

1. Привести уравнение к виду ax² + bx + c = 0.
2. Проверить, не является ли уравнение неполным, - тогда решить без дискриминанта.
3. Проверить, нельзя ли угадать корни по Виету или по сумме коэффициентов.
4. Если нет, найти D (или D₁ при четном b).
5. По знаку D определить число корней и вычислить их.
6. Проверить корни подстановкой или по теореме Виета.

Немного истории

Квадратные уравнения умели решать еще в Древнем Вавилоне около 2000 лет до нашей эры, хотя записывали их словами, а не формулами. Индийский математик Брахмагупта в VII веке сформулировал правило, близкое к современной формуле корней. Общий вид формулы с буквенными коэффициентами появился после работ Франсуа Виета в конце XVI века, именно его именем названа теорема о сумме и произведении корней.