Определение. Биквадратными называются уравнения вида ах4 + bх2 + с = 0, где
а, b, с - заданные числа, причем а ≠ 0.
Метод решения
Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки .
Новое квадратное уравнение относительно переменной : .
Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения
Решая эти два уравнения ( и ) относительно переменной , мы получаем корни данного биквадратного уравнения.
Порядок действий при решении биквадратных уравнений
Ввести новую переменную Подставить данную переменную в исходное уравнение Решить квадратное уравнение относительно новой переменной После нахождения корней () подставить их в нашу переменную и найти исходные корни биквадратного уравнения
Пример решения
Пример: х4 - 8х2 - 9 = 0.
Пусть у = х2, где у 0;
у2 - 8у - 9 = 0;
По формулам Виета:
у1 = -1; у2 = 9;
Первое решение отбрасываем (у 0),
а из второго находим х1 = -3; х2 = 3.
Ответ. х1 = -3; х2 = 3.
Решить самостоятельно или по образцу
Основные формулы:
ах2 + bх + с = 0
Формулы Виета
Если х1, х2 - корни квадратного уравнения
ах2 + bх + с = 0, то
Для уравнения х2 + рх + q = 0
Симметрические уравнения
Решение симметрических уравнений рассмотрим на примере симметрических уравнений третьей степени.
Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида
ax3 + bx2 + bx + a = 0, где a, b - заданные числа.
Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства симметрических уравнений:
10. У любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.
Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х3 + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т. е.
(х + 1)(ах2 + (b - а)x + а) = 0, поэтому, х + 1 = 0 или ах2 + (b - а)x + а = 0,
первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.
20. У симметрического уравнения корней, равных нулю, нет.
30. При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова симметрическим многочленом.
Возвратные уравнения
Уравнение вида anxn + an - 1 xn - 1 + ... +a1x + a0 = 0
называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных
позициях, равны, то есть если an - 1 = ak, при k = 0, 1, ... , n.
Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0,
где a, b и c - некоторые числа, причём a ≠ 0.
Оно является частным случаем уравнения
ax4 + bx3 + cx2 + kbx + k2a = 0 при k = 1.
Порядок действий при решении возвратных уравнений
вида ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0:
разделить левую и правую части уравнения на x2 ≠ 0. При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения; группировкой привести полученное уравнение к виду
a(x2 + ) + b(x + ) + c = 0;
t2 = x2 + 2 + , то есть x2 + = t2 - 2;
в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:
at2 + bt + c - 2a = 0;
решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.
Пример решения
Пример: 2x4 - 3x3 - 7x2 -15x + 50 = 0.
Разделим на x2, получим
Введем замену Пусть х + = t, x2 + = t2 - 10,
тогда 2t2 - 3t - 27 = 0;
Ответ. 2; .
Решить самостоятельно или по образцу.
; x4-2x3-9x2-6x+9=0; 5x4 +5x3-14x2-10x+12=0
Основные формулы:
ах2 + bх + с = 0
Формулы Виета
Если х1, х2 - корни квадратного уравнения
ах2 + bх + с = 0, то
Для уравнения х2 + рх + q = 0
Рациональные уравнения.
Определение. Рациональными уравнениями называются уравнения, членами которого являются рациональныкие дроби, у которых числителями и знаменателями являются многочлены.
Порядок действий при решении рациональных уравнений
Умножить уравнение на общий знаменатель дробей, входящих в это уравнение; Свести полученное уравнение к алгебраическому и решить его; Проверить, при каких найденных значениях неизвестного знаменатели дробей, входящих в уравнение, не равны нулю.
Два многочлена f (x) и g (x) считаются равными, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной х и свободные члены (или, короче, равны их соответствующие коэффициенты). В этом случае пишут: f
(x)
=g
(x).
Например, многочлены f (x) =x3+2x2-3x+1 и g (x) =2x2-3x+1 не равны, ибо у первого из них коэффициент при х3 равен 1, а у второго - нулю (согласно принятым условностям мы можем записать: g (x) =0x3+2x2-3x+1. В этом случае пишут: f (x) ?g (x). Не равны и многочлены h (x) =2x2-3x+5, s (x) =2x2+3x+5, так как у них коэффициенты при х различны. А вот многочлены f1 (x) =2x5+3x3+bx+3 и g1 (x) =2x5+ax3-2x+3 равны тогда и только тогда, когда а=3, а b=-2.
Пусть даны многочлен f
(x)
=anxn+an-1xn-1+...
+a1x+a0
и некоторое число с. Число f
(c)
=ancn+an-1cn-1+...
+a1c+a0
называется значением многочлена f (x) при х=с.
Таким образом, чтобы найти f (c), в многочлен вместо х нужно подставить с и провести необходимые вычисления. Например, если f (x) =2x3+3x2-x+5, то f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2- (-2) +5=3.
Рассмотрим многочлен f (x) =a и найдем, например, f (2). Для этого в многочлен вместо х надо подставить число 2 и произвести необходимые вычисления. Однако в нашем случае f (x) =a и переменной х в явном виде нет. Вспомним, что рассматриваемый многочлен можно записать в виде f (x) =0x+a. Теперь все в порядке, можно подставить значение х=2: f (2) =02+a=a. Заметим, что для данного многочлена f (c) =a при любом с. В частности, нулевой многочлен при любом с принимает значение, равное нулю.
Вообще говоря, многочлен при различных значениях переменной х может принимать различные значения. Нас же довольно часто будут интересовать те значения х, при которых многочлен принимает значение 0. Число с называется корнем многочлена f (x), если f (c) =0.
Например, если f (x) =x2-3x+2, то числа 1 и 2 являются корнями этого многочлена, ибо f (1) =0 и f (2) =0. А вот многочлен f (x) =5 корней вообще не имеет. В самом деле, при любом значении х он принимает значение 5, а значит, никогда не принимает значение 0. Для нулевого же многочлена, как легко заметить, каждое число является корнем.
Поиск корней многочленов является одной из важнейших задач алгебры. Находить корни линейных двучленов и квадратных трехчленов учат еще в школе. Что касается многочленов более высоких степеней, то для них такая задача является весьма трудной и не всегда разрешимой. В дальнейшем мы неоднократно будем ею заниматься. А сейчас заметим только, что найти корни многочлена f
(x)
=anxn+an-1xn-1+...
+a1x+a0
и решить уравнение anxn+an-1xn-1+...
+a1x+a0=0
- это эквивалентные задачи. Поэтому, научившись находить корни многочлена, мы научимся решать соответствующие уравнения, и наоборот.
Обратим внимание на различие между двумя утверждениями: "многочлен f (x) равен нулю (или, что то же самое, многочлен f (x) - нулевой)" и "значение многочлена f (x) при х=с равно нулю". Например, многочлен f (x) =x2-1 не равен нулю, ибо у него есть ненулевые коэффициенты, а его значение при х=1 равно нулю. Короче, f (x) ?0, а f (1) =0.
Между понятиями равенства многочленов и значения многочлена существует тесная взаимосвязь. Если даны два равных многочлена f (x) и g (x), то их соответствующие коэффициенты равны, а значит, f (c) = g (c) для каждого числа с. Другими словами, если f (c) = g (c) для каждого числа c, то равны ли многочлены f (x) и g (x)? Попробуем ответить на этот вопрос в частном случае, когда f (x) = px2 +qx+r, а g (x) = kx+m. Так как f (c) = g (c) для каждого числа с, то, в частности, f (0) = g (0), f (1) = g (1), f (-1) = g (-1).
Вычислив фигурирующие в этих равенствах значения рассматриваемых многочленов, получим систему
Из этой системы следует, что p = 0, q = k, r = m, а значит, f (x) = g (x).
Таким образом, для рассмотренного примера ответ на поставленный вопрос положителен. Оказывается, это справедливо и в общем случае, после ознакомления с некоторыми другими понятиями и утверждениями теории многочленов.
Многочлен (иначе именуемый полиномом) представляет собой алгебраическую сумму двух и более одночленов. Стоит пояснить, что представляет собой элементарный одночлен. Моном (одночлен) - это базовая алгебраическая конструкция, представляющая собой некую переменную в положительной степени, имеющую числовой коэффициент (который может быть отрицательным или положительным). При этом коэффициент при переменной может быть равен единице - тогда одночленом является сама переменная, задаваемая, чаще всего, латинскими буквами от конца алфавита - x, y, z.
С другой стороны, часто встречаются примеры одночленов из одного лишь числового коэффициента. Некоторые старые руководства по математике гласят, что одночлен - это алгебраическое выражение, не содержащее знаков суммирования или вычитания. При этом умножение и дробь могут быть в одном мономе. Данное определение не столь корректно, но более реально описывает фактические примеры одночленов.
Несколько одночленов образуют многочлены - цепочки алгебраических базовых выражений. Если одночлена два - то образуется бином, если три и больше - то полином. Многочлены являются вторым уровнем элементарных математических выражений, после одночленов.
Важно отметить, что при помощи полиномов не только выстраиваются многочисленные задачи в алгебре, но и производится дальнейшее усложнение простейших математических конструкций. Через понятие "многочлен" выводятся определения для "уравнения" и "алгебраической функции". Поэтому данный видеоурок посвящен работе с многочленами. Быстрое решение задач с их участием позволит лучше усвоить многие смежные темы.
Рассмотрим выражение вида:
3а 2 + 4с 3 - а 2 + 2с 3
Данный пример является алгебраическим многочленом, состоящим из четырех различных одночленов. Каждый индивидуальный элемент-моном многочлена носит название "член многочлена". Выражение легко разбивается по знакам сложения и вычитания, образуя четыре отдельных монома:
3а 2 , 4с 3 , а 2 , 2с 3
Они в сумме (алгебраической) и дают исходный многочлен. Приравнивание выражения к любому числовому значению или другому полиному образует уравнение, однако, это тема для другого видеоурока.
Чтобы найти значение многочлена, следует понимать основные принципы данного процесса. Решением многочлена называется его упрощение - максимальное, реальное математически, уменьшение количества членов выражения. Стоит отметить, что для комплексного решения многих задач необходимо, скорее, уметь привести многочлен в выгодную форму. А она не всегда бывает самым коротким многочленом. Если выражение предназначено для дальнейшей работы - то вид, к которому его необходимо будет привести, должен зависеть от специфики грядущих математических операций.
Чтобы просто решить многочлен, нужно разложить его по отдельным группам, состоящим из подобных алгебраических элементов. Главное требование к этим элементам - возможность быстрого оперирования в пределах своей группы. К примеру, все отдельные числовые значения выносятся в одну группу - действия между ними осуществляются элементарными математическими операциями. Так же легко выделяются одинаковые переменные, квадраты таких переменных и т.д.
Группируя члены полинома стоит помнить правило сохранности знаков "плюс" и "минус" перед выражением. Они являются важнейшим и неотъемлемым атрибутом одночлена, и их потеря приведет к неверным результатам.
Как видим в нашем уроке, решение многочленов - довольно простая задача, требующая лишь внимательности и точного следования элементарным алгебраическим правилам.
МатематикаКвадратные уравнения: дискриминант, формула корней и теорема Виета
МатематикаФормулы площадей фигур: треугольник, трапеция, ромб, круг и другие
МатематикаЗадачи на проценты: процент от числа, число по проценту и сложные проценты