Решение уравнений с параметром и модулем: урок

Цель:

• повторить решение систем линейных уравнений с двумя переменными
• дать определение системы линейных уравнений с параметрами
• научит решать системы линейных уравнений с параметрами.

Ход урока

1. Организационный момент
2. Повторение
3. Объяснение новой темы
4. Закрепление
5. Итог урока
6. Домашнее задание

2. Повторение:

I. Линейное уравнение с одной переменной:

1. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной

[Уравнение вида ax=b, где х - переменная, а и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной]

2. Сколько корней может иметь линейное уравнение?

[- Если а=0, b0, то уравнение не имеет решений, х

Если а=0, b=0, то х R

Если а0, то уравнение имеет единственное решение, х =

3. Выясните, сколько корней имеет уравнение (по вариантам)

II. Линейное уравнение с 2 -мя переменными и система линейных уравнений с 2- мя переменными.

1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.

[Линейным уравнением с двумя переменными называются уравнения вида ах +by=с, где х и у - переменные, а, b и с - некоторые числа. Например, х-у=5]

2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?

[Решением уравнения с двумя переменными называются пара значений переменных, обращающие это уравнение в верное равенство.]

3. Является ли пара значений переменных х = 7, у = 3 решением уравнения 2х + у = 17?

4. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

[Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых является решениями этого уравнения.]

5. Выясните, что представляет собой график уравнения:

[Выразим переменную у через х: у=-1,5х+3

Формулой у=-1,5х+3 является линейная функция, графиком которой служит прямая. Так как, уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6]

6. Что является графиком уравнения ах+bу=с с переменными х и у, где а0 или b0?

[Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.]

7. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

[Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство]

8. Что значит решить систему уравнений?

[Решить систему уравнений - значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.]

9. Выясните, всегда ли имеет такая система решения и если имеет, то сколько (графическим способом).

10. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

[Единственное решение, если прямые пересекаются; не имеет решений, если прямые параллельны; бесконечно много, если прямые совпадают]

11. Каким уравнением обычно задается прямая?

12. Установите связь между угловыми коэффициентами и свободными членами:

I вариант:

• у=-х+2
• y= -x-3,

k 1 = k 2 , b 1 b 2, нет решений;

II вариант:

• y=-х+8
• y=2x-1,

k 1 k 2 , одно решение;

III вариант:

• y=-x-1
• y=-x-1,

k 1 = k 2 , b 1 = b 2, много решений.

Вывод:

1. Если угловые коэффициенты прямых являющихся графиками этих функций различны, то эти прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
2. Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, а точки пересечения с осью у различны, то прямые параллельны, а система не имеет решений.
3. Если угловые коэффициенты и точки пересечения с осью у одинаковы, то прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений.

На доске таблица, которую постепенно заполняет учитель вместе с учениками.

III. Объяснение новой темы.

Определение: Система вида

• A 1 x+B 1 y=C
• A 2 x+B 2 y=C 2

где A 1, A 2, B 1 ,B 2, C₁C 2 - выражения, зависящие от параметров, а х и у - неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.

Возможны следующие случаи:

1) Если , то система имеет единственное решение

2) Если , то система не имеет решений

3) Если , то система имеет бесконечно много решений.

IV. Закрепление

Пример 1.

При каких значениях параметра а система

• 2х - 3у = 7
• ах - 6у = 14

а) имеет бесконечное множество решений;

б) имеет единственное решение

Ответ:

а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений;

б) если а 4, то решение единственное.

Пример 2.

Решите систему уравнений

• x+(m+1)y=1
• x+2y=n

Решение: а) , т.е. при m1 система имеет единственное решение.

б) , т.е. при m=1 (2=m+1) и n1 исходная система решений не имеет

в) , при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) если m=1 и n1, то решений нет

б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество

• у - любое
• x=n-2y

в) если m1 и n - любое, то

Пример 3.

• ах-3ау=2а+3
• х+ау=1

Решение: Из II уравнения найдем х=1-ау и подставим в I уравнение

а(1-ау)-3ау=2а+3

а-а 2 у-3ау=2а+3

А 2 у-3ау=а+3

А(а+3)у=а+3

Возможны случаи:

1) а=0. Тогда уравнение имеет вид 0*у=3 [у ]

Следовательно, при а=0 система не имеет решений

2) а=-3. Тогда 0*у=0.

Следовательно, у . При этом х=1-ау=1+3у

3) а0 и а-3. Тогда у=-, х=1-а(-=1+1=2

Ответ:

1) если а=0, то (х; у)

2) если а=-3, то х=1+3у, у

3) если а 0 и а?-3, то х=2, у=-

Рассмотрим II способ решения системы (1).

Решим систему (1) методом алгебраического сложения: вначале умножим первое уравнение системы на В 2, второе на - В 1 и сложим почленно эти уравнения, исключив, таким образом, переменную у:

Т.к. А 1 В 2 -А 2 В 1 0, то х =

Теперь исключим переменную х. Для этого умножим первое уравнение системы (1) на А 2 , а второе на - А 1 , и оба уравнения сложим почленно:

• А 1 А 2 х +А 2 В 1 у=А 2 С 1
• -А 1 А 2 х-А 1 В 2 у=-А 1 С 2
• у(А 2 В 1 -А 1 В 2)=А 2 С 1 -А 1 С 2

т.к. А 2 В 1 -А 1 В 2 0 у =

Для удобства решения системы (1) введем обозначения:

- главный определитель

Теперь решение системы (1) можно записать с помощью определителей:

Приведенные формулы называют формулами Крамера.

Если , то система (1) имеет единственное решение: х=; у=

Если , или , , то система (1) не имеет решений

Если , , , , то система (1) имеет бесконечное множество решений.

В этом случае систему надо исследовать дополнительно. При этом, как правило, она сводится к одному линейному уравнению. В случае часто бывает удобно исследовать систему следующим образом: решая уравнение , найдем конкретные значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую надо и исследовать.

Если коэффициенты А 1 , А 2 , В 1 , В 2 , системы зависят от нескольких параметров, то исследовать систему удобно с помощью определителей системы.

Пример 4.

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

• (а+5)х+(2а+3)у=3а+2
• (3а+10)х+(5а+6)у=2а+4

Решение: Найдем определитель системы:

= (а+5)(5а+6) - (3а+10) (2а+3)= 5а 2 +31а+30-6а 2 -29а-30=-а 2 +2а=а(2-а)

= (3а+2) (5а+6) -(2а+4)(2а+3)=15а 2 +28а+12-4а 2 -14а-12=11а 2 +14а=а(11а+14)

=(а+5) (2а+4)-(3а+10)(3а+2)=2а 2 +14а+20-9а 2 -36а-20=-7а 2 -22а=-а(7а+22)

21x 2 + 55x + 42 = 0, D = 552 − 4 21 42 = 3025 − 3582 < 0.

Ответ: 1; 2.

§6. Решение уравнений с модулями и параметрами

Рассмотрим несколько уравнений, в которых переменная x стоит под знаком модуля. Напомним, что

x , если x ≥ 0,

x = − x , если x < 0.

Пример 1. Решите уравнение:

а) x − 2 = 3; б) x + 1 − 2x − 3 = 1;

2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения

ловию, следовательно, только число 3 является решением исходного

x < 0 удовлетворяет число − 3 и не удовлетворяет число 2.

© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна

ной x называется уравнением с параметром a . Решить уравнение с параметром - это значит при любом допустимом значении параметра найти все решения данного уравнения.

Пример 2. Решитеуравнениепривсехдопустимыхзначенияхпараметра a :

а) ax 2 − 3 = 4 a 2 − 2 x 2 ; б) (a − 3 ) x 2 = a 2 − 9;

в) (a − 1 ) x2 + 2 (a + 1 ) x + (a − 2 ) = 0.

выражение 4 a 2 + 3 < 0, тогда уравнение не имеет решений. a + 2

ли a < − 3, то уравнение не имеет решений. Если a > − 3 и a ≠ 3, то уравнение имеет два решения: x 1 = a + 3 и x 2 = − a + 3.

§7. Решение систем уравнений. Решение задач, сводящихся к квадратным уравнениям

В этом параграфе рассмотрим системы, которые содержат уравнения второй степени.

Пример 1. Решить систему уравнений

2x + 3y = 8,

xy = 2.

В этой системе уравнение 2 x + 3 y = 8 является уравнением первой степени, а уравнение xy = 2 - второй. Решим эту систему методом

подстановки. Из первого уравнения системы выразим x через y и подставим это выражение для x во второе уравнение системы:

Последнее уравнение сводится к квадратному уравнению

8y − 3y 2 = 4, 3y 2 − 8y + 4 = 0.

Пример 2. Решите систему уравнений:

x 2 + y 2 = 41,

xy = 20.

Умножим обе части второго уравнения на 2 и сложим с первым

Запишем второе уравнение системы в виде

( x − y )( x + y ) = 5.

Используя уравнение x − y = 1, получаем: x + y = 5. Таким образом, получаем систему уравнений, равносильную дан-

Полученное квадратное уравнение не имеет решений. Для второй системы имеем: x = 2 − y , (2 − y ) y = − 8, y 2 − 2 y − 8 = 0.

y = 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3, y 1 = 4, y 2 = − 2. Тогда x 1 = − 2 и x 2 = 4. Ответ: (− 2;4 ) и (4; − 2 ) .

умноженное на 3, получим:

Пример 5. Решите систему уравнений:

x2 + 4 xy = 3,

y2 + 3 xy = 2.

Из первого уравнения умноженного на 2, вычтем второе уравнение,

2 x2 − xy − 3 y2 = 0.

Если y = 0, тогда и x = 0, но пара чисел (0;0 ) не является решением исходной системы. Разделим в полученном уравнении обе части ра-

Подставляем значение x = − y в первое уравнение системы: y 2 − 4 y 2 = 3, − 3 y 2 = 3.

Решений нет.

Пример 9. Найтивсезначенияпараметра a , прикоторыхсистемауравнений

x2 + (y − 2 ) 2 = 1,

y = ax2 .

имеет хотя бы одно решение.

Данная система называется системой с параметром. Их можно решить аналитическим методом, т.е. с помощью формул, а можно применить так называемый графический метод.

Заметим, что первое уравнение задаёт окружность с центром в точке (0;2 ) с радиусом 1. Второе уравнение при a ≠ 0 задаёт параболу с вершиной в начале координат.

Если a 2

Вслучаеа) параболакасаетсяокружности. Извторогоуравнениясистемыследу-

В случае касания в силу симметрии существует единственное значение y , поэтому дискриминант полученного уравнения должен быть

равен 0. Так как ордината y точки касания положительная и т.к.

Если a > 2 + 2 3 , то парабола будет пересекать окружность в 4 точ-

Следовательно, система имеет хотя бы одно решение, если

a ≥ 2 + 2 3 .

Пример 10. Сумма квадратов цифр некоторого натурального двузначного числа на 9 больше удвоенного произведения этих цифр. После деления этого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 4 и в остатке 3. Найти это двузначное число.

Пусть двузначное число равно 10 a + b , где a и b - цифры этого числа. Тогда из первого условия задачи получаем: a 2 + b 2 = 9 + 2 ab , а из второго условия получаем: 10 a + b = 4 (a + b ) + 3.

a2 + b2 = 9 + 2 ab,

Решаем систему уравнений: 6 a − 3 b = 3.

Из второго уравнения системы получаем

6a − 3b = 3, 2a − b = 1, b = 2a − 1.

Подставляемэтозначениедля b впервоеуравнениесистемы:

a 2 + (2a − 1) 2 = 9 + 2a (2a − 1) , 5a 2 − 4a + 1 = 9 + 4a 2 − 2a ,

a 2 − 2a − 8 = 0, D 1 = 1 + 8 = 9, a = 1 ± 3, a 1 = 4, a 2 = − 2 < 0, b 1 = 7.

Ответ: 47.

Пример 11. После смешения двух растворов, один из которых содержал 48 г, а другой 20 г, безводного йодистого калия, получили 200 г нового раствора. Найдите концентрацию каждого из первоначальных растворов, если концентрация первого раствора была на 15% больше концентрации второго.

Обозначим через x % - концентрацию второго раствора, а через (x + 15 ) % - концентрацию первого раствора.

В первом растворе 48 г составляет (x + 15 ) % от веса всего раствора,

поэтому вес раствора равен x 48 + 15 100. Во втором растворе 20 г со-

Слайд 2

Решение уравнений с параметрами и модулями, применяя свойства функций в неожиданных ситуациях и освоение геометрических приемов решения задач. Нестандарные уравнения Цель урока.

Слайд 3

Абсолютной величиной или модулем числа a называется число a, если a>0, число -a, если a 0 ׀ a ׀={ 0, если a=0 -a, если a 0) равносильно двойному неравенству -a 0. Неравенство ׀ х׀>a, (если a>0) равносильно двум неравенствам - Неравенство׀ х׀>a, (если a

Слайд 4

Решить уравнение с параметрами - значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. а) определить множество допустимых значений неизвестного и параметров; б) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнения. Повторение важнейшего теоретического материала по темам "Решение уравнений с параметрами"

Слайд 5

1. Решить уравнение׀ х-2 ׀ =5; Ответ 7;-3 ׀ х-2 ׀ =-5; Ответ решения нет ׀ х-2 ׀ =х+5; ; Ответ решения нет; 1,5 ׀ х-2 ׀ = ׀ х+5 ׀ ; Ответ решения нет; -1,5; решения нет; -1,5; Устные упражнения.

Слайд 6

2. Решить уравнениеах=1; Ответ. Если a=0, то нет решения;если a=0, тох=1/ a 1.3. Решить уравнение (а²-1) х = а+ 1. 1) а = 1; тогда уравнение принимает вид Ох = 2 и не имеет решения 2) а = ­ 1; получаем Ох = О, и очевидно х - любое. 1 3) если а =± 1 ,то х = -- а-1 Ответ. Если а=-1 , то х- любое; если а=1, то нет решения 1 если а =± 1 ,то х= -- а-1

Слайд 7

2.Решить уравнение׀ х+3 ׀ + ׀ у -2 ׀= 4; . 2 3. 4. 1

Слайд 8

3 3 2 x y 0 1 Ответ: (-3; 2).

Слайд 9

2. Решить уравнениеах=1

Ответ. Если a=0, то нет решения; если a=0, то х=1/ a 1.3. Решить уравнение (а²-1) х = а+ 1. 1) а = 1; тогда уравнение принимает вид Ох = 2 и не имеет решения 2) а = ­ 1; получаем Ох = О, и очевидно х - любое. 1 3) если а =± 1 ,то х = -- а-1 Ответ. Если а=-1 , то х- любое; если а=1, то нет решения 1 если а =± 1 ,то х= -- а-1

Слайд 10

3 Построить график функции у= ׀х׀, у= ׀х-2 ׀, у = ׀ х+5I , у = ׀х-2 ׀+3, у = ׀ х+3 ׀-2

y x У=IxI 1 2 -3 -4 -1 1 -2 2 3 0 -5 4 5 6 -1 -2 Y=Ix+3I-2 Y=Ix-2I Y=Ix+5I Y=Ix-2I +3

Уравнения с параметрами

Математика - единственный совершенный метод, позволяющий провести самого себя за нос. Альберт Эйнштейн

№ 1 Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x² + (a + 5)² = |x + a + 5| + |x - a -5| имеет ровно три корня.

РЕШЕНИЕ Уравнение не изменится, если заменить x числом -x . Следовательно, уравнение имеет чётное число ненулевых решений. Значит, три решения уравнения имеет только тогда, когда одно из них 0. Поставим x = 0 .

Получим: (a + 5)² = 2|a + 5|

Откуда a + 5 = 0 или |a + 5| = 2.

Если a + 5 = 0, уравнение принимает вид x² = 2|x| и имеет ровно три решения: -2, 0, 2. Из a + 5 = 0 получаем: a = -5. Если |a +5| = 2, уравнение принимает вид x² + 4 = |x + 2| + |x - 2|.

2 уравнение принимает вид x² - 2x + 4 = 0 и не имеет решений. Аналогично решений нет при x Ответ: a = -5. " width="640"

При -2 ≤ x ≤ 2 уравнение имеет единственное решение 0. При x 2 уравнение принимает вид x² - 2x + 4 = 0 и не имеет решений. Аналогично решений нет при x Ответ: a = -5.

№ 2

Найдите все значения параметра a, при котором уравнение f(x) = |2a + 5|x

имеет 6 решений, где f -- чётная периодическая функция, с периодом Т = 2, определённая на всей числовой прямой, причём f(x) = ax², если 0≤x≤1 .

РЕШЕНИЕ Если а = 0, функция f(x) тождественно равна нулю, и её график имеет с прямой y = 5x единственную общую точку.

0, то 9а = -25. Положительных решений нет. Следовательно, случай а 0 невозможен. " width="640"

Пусть а = 0, (рис. 1). Решение х = 0 есть при всех а. Нужно ещё ровно пять решений. Единственный возможный случай показан на рисунке: прямая проходит через точку (5 ; а). Составим уравнение |2a + 5| ∙ 5 = a. Так как а 0, то 9а = -25. Положительных решений нет. Следовательно, случай а 0 невозможен.

№ 3 Найдите все значения а, при каждом из которых функция f(x) = x² - 3|x - a²| - 5x имеет более двух точек экстремума. РЕШЕНИЕ При х ≥ а² f (x) = x² - 8x + 3a², поэтому график функции есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии х = 4.

Обе параболы проходят через точку (а² ; f(a²)). Функция y = f(x) имеет более двух точек экстремума, а именно три, в единственном случае (рис. 1): 1

Ответ: -2

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

"Линейное уравнение с двумя переменными" - Равенство, содержащее две переменные, называется уравнением с двумя переменными. -Что называется уравнением с двумя переменными? Приведите примеры. -Какое уравнение с двумя переменными называется линейным? Линейное уравнение с двумя переменными. Определение: Алгоритм доказательства, что данная пара чисел является решением уравнения:

"Решение показательных уравнений" - Сведение к одному основанию. Вынесение за скобки. Т. Виета. Графический способ. Показательным уравнением называют уравнение, содержащее переменную в показателе степени. Решение показательных уравнений. Устная работа. ab+ac=a(b+c). Степени. 2.Решить уравнение: Свойство. Виды и способы решения показательных уравнений.

"Графический способ решения уравнений" - Ответ: один корень, х=-1. Два корня. Решить графически уравнение (х+1)/(х-2)=2. Построить график функции y=x?+6x+8. Практикум по решению уравнений графическим способом Подготовка к зачету. Построить графики функций. Построить график функции y=(x+1)/(x-2). 1. Перенесем 8 в правую часть уравнения. Корней нет.

"Решение целых уравнений" - "Уравнения, в которых скопом Корни, степень, неравенств бездна. Три великих математика. Удачи в дальнейшем изучении методов решения уравнений. Осевая симметрия присуща большинству видов растений и животных. Центральная. В животном мире 2 вида симметрии. Диктант. Осевая. Определите методы решения уравнений.

"Уравнения с логарифмами" - Логарифмические уравнения. Реши устно уравнения. Формулы преобразования логарифмов. Уравнение. Определение. Таблицы логарифмов. Определение логарифма. Определение и свойства логарифма. Логарифмическая линейка. Функция. Наушники или колонки. Область определения. Подходы к решению. Решить уравнение. Гимназия.

"Иррациональные уравнения" - На контроль д/з выполнили: №419 (в,г) Сафиуллина, №418(в,г) Кульмухаметов, №420(в,г)Шагеев. 2 урок Решение систем уравнений. Урок 1 Тема: Решение иррациональных уравнений. 1.Какие из следующих уравнений являются иррациональными: Цели: Познакомить учащихся с решениями некоторых видов иррациональных уравнений.

Всего в теме 49 презентаций