В правильной треугольной пирамиде SABC R
- середина ребра АВ
, S
- вершина.
Известно, что SR = 6
, а площадь боковой поверхности равна 36
.
Найдите длину отрезка BC
.
Сделаем чертёж. В правильной пирамиде боковые грани - равнобедренные треугольники.
Отрезок SR - медиана, опущенная на основание, а значит, и высота боковой грани.
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна сумме площадей
трёх равных боковых граней S бок. = 3 · S ABS
. Отсюда S ABS = 36: 3 = 12
- площадь грани.
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту
S ABS = 0,5 · AB · SR
. Зная площадь и высоту, найдём сторону основания АВ = ВС
.
12 = 0,5 · АВ · 6
12 = 3 · АВ
АВ = 4
Ответ : 4
Можно подойти к задаче и с другого конца. Пусть сторона основания АВ = ВС = а
.
Тогда площадь грани S ABS = 0,5 · AB · SR = 0,5 · а · 6 = 3а
.
Площадь каждой из трёх граней равна 3а
, площадь трёх граней равна 9а
.
По условию задачи площадь боковой поверхности пирамиды равна 36.
S бок. = 9а = 36
.
Отсюда а = 4
.
Площадь боковой поверхности произвольной пирамиды равна сумме площадей её боковых граней. Специальную формулу для выражения этой площади имеет смысл дать в случае правильной пирамиды. Так, пусть дана правильная пирамида, в основании которой лежит правильный n-угольник со стороной, равной а. Пусть h - высота боковой грани, называется также апофемой пирамиды. Площадь одной боковой грани равна 1/2ah, а вся боковая поверхность пирамиды имеет площадь, равную n/2ha.Так как na - периметр основания пирамиды, то можно написать найденную формулу в виде:
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению её апофемы на половину периметра основания.
Что касается площади полной поверхности , то просто к боковой прибавляем площадь основания.
Вписанные и описанные сфера и шар . Нужно отметить, что центр вписанной в пирамиду сферы лежит на пересечении биссекторных плоскостей внутренних двугранных углов пирамиды. Центр описанной около пирамиды сферы лежит на пересечении плоскостей, проходящих через середины ребер пирамиды и перпендикулярных им.
Усеченная пирамида. Если пирамиду рассеч плоскостью, параллельной её основанию, то часть, заключенная между секущей плоскостью и основанием, называется усеченной пирамидой. На рисунке показана пирамида, отбрасывая её часть, лежащую выше секущей плоскости, получаем усеченную пирамиду. Ясно, что малая отбрасываемая пирамида гомотетична большой пирамиде с центром гомотетии в вершине. Коэффициент подобия равен отношению высот: k=h 2 /h 1 , или боковых ребер, или других соответствующих линейных размеров обеих пирамид. Мы знаем, что площади подобных фигур относятся, как квадраты линейных размеров; так площади оснований обеих пирамид (т.е. пощади оснований усеченной пирамиды) относятся, как
Здесь S 1 - площадь нижнего основания, а S 2 - площадь верхнего основания усеченной пирамиды. В таком же отношении находятся и боковые поверхности пирамид. Сходное правило имеется и для объемов.
Объемы подобных тел относятся, как кубы их линейных размеров; например, объемы пирамид относятся, как произведения их высот на площади оснований, откуда наше правило получается сразу. Оно имеет совершенно общий характер и прямо следует из того, что объем всегда имеет размерность третей степени длины. Пользуясь этим правилом, выведем формулу, выражающую объем усеченной пирамиды через высоту и площади оснований.
Пусть дана усеченная пирамида с высотой h и площадями оснований S 1 и S 2 . Если представить себе, что она продолжена до полной пирамиды, то коэффициент подобия полнорй пирамиды и малой пирамиды легко найти, как корень из отношения S 2 /S 1 . Высота усеченной пирамиды выражается как h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Теперь имеем для объема усеченной пирамиды (через V 1 и V 2 обозначены объемы полной и малой пирамид)
формула объема усеченной пирамиды
Выведем формулу площади S боковой поверхности правильной усеченной пирамиды через периметры Р 1 и Р 2 оснований и длину апофемы а. Рассуждаем точно так же, как и при выводе формулы для объема. Дополняем пирамиду верхней частью, имеем P 2 = kP 1 , S 2 =k 2 S 1 , где k - коэффициент подобия, P 1 и P 2 - периметры оснований, а S 1 и S 2 - лощади боковых поверхностей всей полученной пирамиды и её верхней части соответственно. Для боковой поверхности найдем (а 1 и а 2 - апофемы пирамид, а = а 1 - а 2 = а 1 (1-k))
формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды
Цилиндр представляет собой геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и цилиндрической поверхностью. В статье поговорим о том, как найти площадь цилиндра и, применив формулу, решим для примера несколько задач.
У цилиндра есть три поверхности: вершина, основание, и боковая поверхность.
Вершина и основание цилиндра являются окружностями, их легко определить.
Известно, что площадь окружности равна πr 2 . Поэтому, формула площади двух окружностей (вершины и основания цилиндра) будет иметь вид πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .
Третья, боковая поверхность цилиндра, является изогнутой стенкой цилиндра. Для того чтобы лучше представить эту поверхность попробуем преобразовать её, чтобы получить узнаваемую форму. Представьте себе, что цилиндр, это обычная консервная банка, у которой нет верхней крышки и дна. Сделаем вертикальный надрез на боковой стенке от вершины до основания банки (Шаг 1 на рисунке) и попробуем максимально раскрыть (выпрямить) полученную фигуру (Шаг 2).
После полного раскрытия полученной банки мы увидим уже знакомую фигуру (Шаг 3), это прямоугольник. Площадь прямоугольника вычислить легко. Но перед этим вернемся на мгновение к первоначальному цилиндру. Вершина исходного цилиндра является окружностью, а мы знаем, что длина окружности вычисляется по формуле: L = 2πr. На рисунке она отмечена красным цветом.
Когда боковая стенка цилиндра полностью раскрыта, мы видим, что длина окружности становится длиной полученного прямоугольника. Сторонами этого прямоугольника будут длина окружности(L = 2πr) и высота цилиндра(h). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон – S = длина х ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результате мы получили формулу для расчета площади боковой поверхности цилиндра.
Формула площади боковой поверхности цилиндра
S бок. = 2πrh
Площадь полной поверхности цилиндра
Наконец, если мы сложим площадь всех трёх поверхностей, мы получим формулу площади полной поверхности цилиндра. Площади поверхности цилиндра равна площадь вершины цилиндра + площадь основания цилиндра + площадь боковой поверхности цилиндра или S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Иногда это выражение записывается идентичной формулой 2πr (r + h).
Формула площади полной поверхности цилиндра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радиус цилиндра, h – высота цилиндра
Примеры расчета площади поверхности цилиндра
Для понимания приведенных формул попробуем посчитать площадь поверхности цилиндра на примерах.
1. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Определите площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности рассчитывается по формуле: S бок. = 2πrh
S бок. = 2 * 3,14 * 2 * 34.6 . Всего получено оценок: 990.
Какую фигуру мы называем пирамидой? Во-первых, это многогранник. Во-вторых, в основании этого многогранника расположен произвольный многоугольник, а стороны пирамиды (боковые грани) обязательно имеют форму треугольников, сходящихся в одной общей вершине. Вот теперь, разобравшись с термином, выясним, как найти площадь поверхности пирамиды.
Понятно, что площадь поверхности такого геометрического тела составится из суммы площадей основания и всей его боковой поверхности.
Вычисление площади основания пирамиды
Выбор расчетной формулы зависит от формы лежащего в основании нашей пирамиды многоугольника. Он может быть правильным, то есть со сторонами одинаковой длины, или неправильным. Рассмотрим оба варианта.
В основании – правильный многоугольник
Из школьного курса известно:
- площадь квадрата будет равна длине его стороны, возведенной в квадрат;
- площадь равностороннего треугольника равна квадрату его стороны, деленному на 4 и умноженному на квадратный корень из трех.
Но существует и общая формула, для расчета площади любого правильного многоугольника (Sn): надо умножить значение периметра этого многоугольника (Р) на радиус вписанной в него окружности (r), а затем разделить полученный результат на два: Sn=1/2P*r.
В основании – неправильный многоугольник
Схема нахождения его площади заключается в том, чтобы сначала разбить весь многоугольник на треугольники, вычислить площадь каждого из них по формуле: 1/2a*h (где а – основание треугольника, h – опущенная на это основание высота), сложить все результаты.
Площадь боковой поверхности пирамиды
Теперь рассчитаем площадь боковой поверхности пирамиды, т.е. сумму площадей всех ее боковых сторон. Здесь также возможны 2 варианта.
- Пусть у нас имеется произвольная пирамида, т.е. такая, в основании которой – неправильный многоугольник. Тогда следует вычислить отдельно площадь каждой грани и сложить результаты. Так как боковыми сторонами пирамиды по определению могут быть только треугольники, то расчет идет по упомянутой выше формуле: S=1/2a*h.
- Пусть наша пирамида – правильная, т.е. в ее основании лежит правильный многоугольник, и проекция вершины пирамиды оказывается в его центре. Тогда для вычисления площади боковой поверхности (Sб) достаточно найти половину произведения периметра многоугольника-основания (Р) на высоту (h) боковой стороны (одинаковую для всех граней): Sб=1/2 Р*h. Периметр многоугольника определяется сложением длин всех его сторон.
Полная площадь поверхности правильной пирамиды найдется суммированием площади ее основания с площадью всей боковой поверхности.
Примеры
Для примера вычислим алгебраически площади поверхности нескольких пирамид.
Площадь поверхности треугольной пирамиды
В основании такой пирамиды – треугольник. По формуле Sо=1/2a*h находим площадь основания. Эту же формулу применяем для нахождения площади каждой грани пирамиды, также имеющей треугольную форму, и получаем 3 площади: S1, S2 и S3. Площадь боковой поверхности пирамиды является суммой всех площадей: Sб= S1+ S2+ S3. Сложив площади боковых сторон и основания, получим полную площадь поверхности искомой пирамиды: Sп= Sо+ Sб.
Площадь поверхности четырехугольной пирамиды
Площадь боковой поверхности - это сумма 4-ех слагаемых: Sб= S1+ S2+ S3+ S4, каждое из которых вычислено по формуле площади треугольника. А площадь основания придется искать, в зависимости от формы четырехугольника - правильного или неправильного. Площадь полной поверхности пирамиды снова получится путем сложения площади основания и полной площади поверхности заданной пирамиды.
В школьном курсе стереометрии изучают свойства разных пространственных фигур. Одной из них является пирамида. Данная статья посвящена вопросу о том, как найти у пирамиды площадь боковой поверхности. Также раскрывается вопрос определения этой площади для усеченной пирамиды.
Что такое пирамида?
Многие, услышав слово "пирамида", сразу представляют грандиозные сооружения Древнего Египта. Действительно, гробницы Хеопса и Хефрена являются правильными четырехугольными пирамидами. Тем не менее пирамидой также является тетраэдр, фигуры с пяти-, шести-, n-угольным основанием.
Вам будет интересно:
В геометрии понятие пирамиды определено четко. Под этой фигурой понимают объект в пространстве, который образуется в результате соединения некоторой точки с углами плоского n-угольника, где n - целое число. Ниже рисунок показывает четыре пирамиды с разным количеством углов в основании.
Точка, с которой соединены все вершины углов основания, не лежит в его плоскости. Она называется вершиной пирамиды. Если из нее провести к основанию перпендикуляр, то мы получим высоту. Фигура, в которой высота пересекает основание в геометрическом центре, получила название прямой. Иногда прямая пирамида имеет правильное основание, например квадрат, равносторонний треугольник и так далее. В этом случае она называется правильной.
При вычислении у пирамиды площади боковой поверхности удобно работать с правильными фигурами.
Площадь поверхности боковой фигуры
Как найти у пирамиды площадь боковой поверхности? Можно понять это, если ввести соответствующее определение и рассмотреть развертку на плоскости для этой фигуры.
Любая пирамида образована гранями, которые друг от друга отделены ребрами. Основание - это грань, образованная n-угольником. Все остальные грани представляют собой треугольники. Их n штук, и они все вместе образуют боковую поверхность фигуры.
Если вдоль бокового ребра разрезать поверхность и развернуть ее на плоскости, то получится развертка пирамиды. Для примера ниже показана развертка шестиугольной пирамиды.
Видно, что боковая поверхность образована шестью одинаковыми треугольниками.
Теперь не трудно догадаться, как у пирамиды найти площадь боковой поверхности. Для этого следует сложить площади всех треугольников. В случае n-угольной правильной пирамиды, сторона основания которой равна a, для рассматриваемой поверхности можно записать формулу:
Здесь hb - это апофема пирамиды. То есть высота треугольника, опущенная из вершины фигуры на сторону основания. Если апофема неизвестна, то ее можно рассчитать, зная параметры n-угольника и значение высоты h фигуры.
Усеченная пирамида и ее поверхность
Как можно догадаться из названия, усеченную пирамиду можно получить из обычной фигуры. Для этого нужно отсечь плоскостью, параллельной основанию, вершину. Ниже рисунок демонстрирует этот процесс для шестиугольной фигуры.
Ее боковая поверхность представляет собой сумму площадей одинаковых равнобедренных трапеций. Формула для площади боковой поверхности усеченной пирамиды (правильной) имеет вид:
Sb = hb*n*(a1 + a2)/2
Здесь hb - апофема фигуры, которая является высотой трапеции. Величины a1 и a2 - это длины оснований сторон.
Расчет боковой поверхности для треугольной пирамиды
Покажем, как найти площадь боковой поверхности пирамиды. Допустим, у нас правильная треугольная, разберемся на примере конкретной задачи. Известно, что сторона основания, представляющего собой равносторонний треугольник, равна 10 см. Высота фигуры равна 15 см.
Развертка этой пирамиды показана на рисунке. Чтобы воспользоваться формулой для Sb, необходимо сначала найти апофему hb. Рассматривая прямоугольный треугольник внутри пирамиды, построенный на сторонах hb и h, равенство можно записать следующее:
hb = √(h2+a2/12)
Подставляем данные и получаем, что hb≈15,275 см.
Теперь можно воспользоваться формулой для Sb:
Sb = n*a*hb/2 = 3*10*15,275/2 = 229,125 см2
Заметим, что основание треугольной пирамиды, как и ее боковая грань, образовано треугольником. Тем не менее этот треугольник при вычислении площади Sb не учитывается.
